关于丢番图方程x^2-dy^2=-1

我们知道丢番图方程,其中d是非完全平方正整数，那么此方程就是Pell方程，到目前为止对于它的最优求解方

法就是经典的连分数问题。可以看这里：http://blog.csdn.net/acdreamers/article/details/8529686

那么对于上述的Pell方程来说，它一定是有解的，而现在我们研究另一个丢番图方程：

，其中同样要求d是非完全平方正整数，对于这个方程，它就不一定有解了。

那么我们来研究如下一个结论：

设，当并且为素数，那么一定有正整数解。

下面我们就来简略证明一下这个结论

证明：我们知道对于方程一定有正整数解，当然本文讨论中的所有都是非完全平方正整数。

假设是方程的最小正整数解，显然一奇一偶，假设，，

那么就得到矛盾，所以只能是，

那么这样可以知道都是整数，并且都相差1，所以必有一奇一偶，所以

进一步有：，那么得到：，

还有一种情况不符合舍去。那么就是方程的最小正整数解。我们可以发现这样的做法就是根据

方程的最小正整数解来求方程的最小正整数解，最后开个方就行了。

其实这种方法看似麻烦，我们作如下简化：

因为求方程的解是用连分数，那么我们也可以直接对方程用连分数求解。这里的还是满足

那么我们有如下结论：

如果，并且，那么方程的解可以这样求：

先把写成连分数的形式，那么我们只需要保存它的第一个循环节的部分，然后把它回带成的形式，那么这里的p和q就

是方程的最小正整数解。

这样，那么我们可以只需找出的连分数表示的一个循环节即可，然后求出p与q即可。

其实直接套这里的模版即可：http://blog.csdn.net/acdreamers/article/details/9531793