1.    引言

线要素光滑是地图综合中的常用算子。地图中的矢量线要素是由坐标点串对应的折线模拟表示，但是线要素会随坐标点间距离的加大表现出锯齿状折线，与现实中地理实体的光滑连续特征不相符合，并且严重影响地图的艺术表达效果。因此，需要运用绘图技术把抽象出来的计算机离散数据进行光滑处理，使线数据形成连续的形态以增加图像的真实感^[1]。

针对线要素光滑算法，学者们从不同的方面进行了研究^[2-6]。张凤蛟^[7]对曲线光滑过程中的拟合方法进行了研究；徐庆荣^[8]对插值过程中的步长进行了研究；韩光瞬^[9]等对光滑过程中出现的不合理的尖角提出了钝化方法；赵博^[10]等对五点光滑法、三次样条Hermite插值法和B-样条曲线法的光滑效果进行了对比。王延亮^[11]等对线性迭代光滑法进行了改进，解决了曲线不通过离散点的问题。藩正风^[12]等提出一种近似斜轴抛物线加权平均插值法曲线光滑。李云锦，钟耳顺^[13]等通过长度比值点计算切矢量方向，结合改进算法的切矢量模计算方法，构造了一种近似的插值曲线。孟雅琴^[14]等对张力样条函数进行了研究和探讨。这些研究多数是针对光滑的质量或对单个算法的改进，没有对光滑算法的时间复杂度做系统的分析和总结。

当前，在计算机科学领域，网络集群、网格计算、高性能计算以及分布式并行计算等技术的快速发展推动了高性能并行GIS的发展^[15]。如何将传统的GIS算法引入到高性能并行计算环境中，建立响应速度快、计算能力强的GIS系统是高性能并行GIS发展的关键问题。本文调研了一些常用的线光滑算法在串行环境下的执行方式和效率，并探讨了这些算法的并行适宜性。

2.    常见的光滑算法及其分类

线要素光滑算法有很多种，且按照不同的分类标准这些算法有不同的分类结果。本文调研了目前GIS系统中常用的7种光滑算法，并按照光滑过程中的拟合方法将这些算法分成了4类。

2.1线要素光滑算法概述

常用的曲线光滑算法有线性迭代光滑法、正轴抛物线加权平均法、斜轴抛物线加权平均法、五点求导分段三次多项式插值法、三点求导分段三次多项式插值法、张力样条函数法、Bezier曲线法等7种算法。这些算法大体可以分为以下两种类型：一是要求光滑后的曲线严格通过各离散点；另一种则根据点列的大体趋势来拟合出一条大致的曲线，拟合后的曲线只要求符合离散点的大体形状和趋势而不要求经过离散点。拟合曲线严格通过各离散点的光滑算法有：正轴抛物线加权平均法、斜轴抛物线加权平均法、五点求导分段三次多项式、三点求导分段三次多项式、张力样条函数插值法；拟合曲线不通过各离散点的光滑算法有：线性迭代光滑法、Bezier函数光滑法。

这些算法各有优缺点，其对比分析如表1所示：

表1 常用曲线光滑算法优缺点

Table 1 merits and demerits of common linesimplification

随着GIS应用领域的扩展，其处理的数据量越来越多，对精度和实时性的要求越来越高，现有的光滑算法中精度能达到要求的算法往往效率较低，而效率高的算法精度上又达不到要求，因此对该类算法的研究和改进势在必行。

除此之外，还有一些其他算法，本文搜集和整理的算法如表2所示：

表2  线要素光滑算法

Table 2 line simplification

2.2基于拟合方法的线要素光滑算法分类

线光滑算法的实现过程中，通常要按照一定的方法对线要素进行拟合，然后根据拟合得到的曲线方程进行插值处理，从而对达到光滑的效果。为了便于分析和程序实现，本文按拟合方法把线光滑算法分为：基于直线拟合的线光滑算法，基于抛物线拟合的线光滑算法，基于多项式拟合的线光滑算法和基于整体曲线拟合的线光滑算法。

1)  基于直线拟合的线光滑算法

直线拟合是将离散点直接用直线连接起来，该类算法主要有线性迭代光滑法。

2)  基于抛物线拟合的线光滑算法

抛物线拟合的基本原理是通过3点可以确定一条抛物线。设抛物线方程为y=ax²+bx+c,假设离散点坐标p₁（x₁,y₁）,p₂(x₂,y₂),p₃(x₃,y₃),…,p_n(x_n,y_n)，欲求p_i和p_i+1两点之间的曲线方程时，要先根据p_i-1,p_i,p_i+1三点求出一个抛物线方程yi，然后根据p_i,p_i+1,p_i+2三点求出一个抛物线方程y_i+1,这样在重叠范围p_i和p_i+1两点之间有两条二次曲线，最后用加权的方法获得的平均曲线即可作为p_i和p_i+1两点之间的曲线。该类算法主要有正轴抛物线加权平均法和斜轴抛物线加权平均法。

3)  基于三次多项式拟合的线光滑算法

三次多项式拟合的基本原理是在相邻数据点间建立一个三次多项式曲线方程，曲线的光滑性是通过要求整条曲线具有连续的一阶导数来保证。该类算法主要有五点求导分段三次多项式插值和三点求导分段三次多项式插值。

4)  基于整体曲线拟合的线光滑算法

整体曲线拟合的基本原理是以所有的离散数据点为整体，拟合出一条光滑的曲线。该类算法主要有张力样条函数插值法和Bezier曲线光滑法。

3.常见的光滑算法时间复杂度求解

一般而言，对于一个算法的分析主要是对算法效率的分析，包括时间复杂度分析和空间复杂度分析。硬件技术的发展使得计算机的存储容量大大提高，存储空间的局限性对算法的影响大大降低。因此，算法的时间复杂度分析是算法分析中的关键部分。本文在分析算法时间复杂度时，先写出算法的伪代码，然后找出其基本语句与问题规模的关系，进而到得算法的时间复杂度。本文将从上述光滑算法的分类中每一类选出一种具有代表性的算法，给出算法时间复杂度分析过程。

3.1.基于直线拟合的线光滑算法

基于直线拟合的线光滑算法有线性迭代光滑法。线性迭代光滑法又叫“抹角法”，该算法是建立在线性插值的基础上，通过一次又一次的迭代，最终达到曲线光滑的目的。其算法原理如下（设平面上有3个点A、B、C）：

第一次插值算出AB和BC间的1/4处的点位，其为1’,2’,3’,4’,连接2’3’，就抹去了B点。

第二次插值是在1’2’、2’3’、3’4’区间进行的，同样算出各区间1/4处的点位，其序号为1”、2”、3”…6”，连接2”3”和4”5”，就抹去了2’和3’两点。

第三次、第四次的插值也是用类似的方法。

线性迭代光滑法的算法伪代码为：

其中k 为迭代次数,n 为点数

①       For i= 1 to k

②         For j=2 to n – 1

③             insertPoint(Point[j-1],Point[j],Point[j+1])

该算法的基本操作是抹角函数insertPoint()，该函数的时间复杂度为O(n)，函数的执行频度为：

由于迭代次数k通常都是很小的，一般情况下取4就足够光滑了，所以该算法的时间复杂度为。

3.2.基于抛物线拟合的线光滑算法

基于抛物线拟合的线光滑算法主要有正轴抛物线加权平均法和斜轴抛物线加权平均法。本类算法选取正轴抛物线加权平均法进行分析。正轴抛物线加权平均法又称为二次多项式平均加权法。正轴抛物线加权平均法的基本思想是按数据点的顺序，每相邻三点作一条正轴抛物线。设平面上有i-1,i,i+1,i+2四个数据点，是n个数据点的一部分。通过i-1,i,i+1三点可以拟合一条二次曲线；通过i,i+1,i+2三点又可以拟合一条二次曲线，在重叠范围i,i+1点之内有两条二次曲线，用加权的办法获得平均曲线作为最终的插值曲线。

正轴抛物线加权平均法的算法伪代码为：

其中n为线数据中点的总数

①       Add Point[0] and Point[n+1] 

②       For i=1 to n-1

③          Parabola(Point[i-1], Point[i], Point[i+1])

④          Parabola(Point[i],Point[i+1], Point[i+2])

⑤          Curve(I to i+1) = Wi*Parabola(Point[i-1],Point[i],Point[i+1]) +              Wi+1 *Parabola(Point[i],Point[i+1], Point[i+2])

该算法只有一个循环，步骤③、④、⑤均包含在循环②里面，步骤③、④、⑤的执行频度为：

步骤③、④为根据3点建立抛物线方程，时间复杂度均为O(1),步骤⑤是根据步骤③、④计算出的2条抛物线的重叠部分加权拟合曲线，时间复杂度是常数级，为O(1)。因此该算法的时间复杂度为。

3.3.基于三次多项式拟合的线光滑算法

基于三次多项式拟合的线光滑算法主要有五点求导分段三次多项式插值和三点求导分段三次多项式插值。本类算法选取五点求导分段三次多项式插值法进行分析。其核心思想是依次利用 5 个相邻的数据点，使用数学方法确定曲线在5点中第3点处的切线斜率，然后利用所求联立方程组，解出待定系数，确定曲线方程^[20]。

五点求导分段三次多项式插值法的算法伪代码为：

其中n为线数据中点的总数

①       AddPoint[-1],Point[0],Point[n+1] and Point[n+2] 

②       For i=1 to n

③          FirstDerivative(Point[i])

④       For i=1 to n-1

⑤          Curve(Point[i],Point[i+1])

该算法包含2个循环，分别为步骤②和步骤④，基本操作语句是步骤③和步骤⑤，步骤③的执行频度为：

步骤⑤的执行频度为：

步骤③为根据5点求得中间点的导数，其时间复杂度为O(1), 步骤⑤是根据多项式曲线方程拟合2点之间的部分曲线，时间复杂度为O(1)。因此该算法的时间复杂度为：

。

3.4.基于整体曲线拟合的线光滑算法

本类算法选取张力样条函数法进行分析。其基本构思是分段插座函数为线性插值和两个双曲函数和的线性组合：。张力样条函数的一个主要特点就是有一个可变的张力系数。当张力参数趋于零或趋于无穷大时的极限曲线，分别是等距节点的有理三次B样条曲线和其控制多边形, 故张力参数可用于调节曲线的光顺性^[14]。

张力样条函数法的算法伪代码为：

其中n为点数

①       For i=1 to n

②          GetAccumulateLength(Point[])

③       GetCoefficientOfTension()

④       Calculate Second Derivate Of AllPoints

⑤       For j=1 to n-1

⑥          Curve(Point[j],Point[j+1])

从上述伪代码可以看出，该算法包括2个循环，步骤①和步骤⑤，步骤②的执行频度为：

步骤③和步骤④各执行一次，步骤⑥的执行频度为:

步骤②为计算累计长度，其时间复杂度为O(1)；步骤③为计算张力系数，其时间复杂度为O(n)；步骤④计算二阶导数较复杂，在解二阶导数的过程中需要计算几个参数Ai、Bi、Ci、Di，其时间复杂度均为O(n)，求解n阶矩阵解二阶导数的时间复杂度也为O(n)，所以步骤④的时间复杂度为4*O(n)=O(n)。步骤⑥为根据张力样条函数拟合两点之间的曲线，其时间复杂度为O(1)。所以该算法的时间复杂度为:。

4.分析与讨论

上节中计算出了4种线光滑算法的时间复杂度，利用同样的方式可以计算出其他光滑算法的时间复杂度。本文计算了7种常用的光滑算法的时间复杂度。计算结果如表3所示：

表3 常用曲线光滑算法时间复杂度

Table 3 Time complexity of line smoothingalgorithms

从上面表格中的分析可以看出，时间复杂度为线性的算法有6个：线性迭代光滑法、正轴抛物线加权平均法、斜轴抛物线加权平均法、五点求导分段三次多项式插值、三点求导分段三次多项式插值和张力样条函数法。这类算法时间复杂度较低，在移植到并行计算环境下时，可以使用共享存储的方式来提高并行执行效率。时间复杂度为非线性的算法有：Bezier曲线法。这类算法时间复杂度较高，可以考虑使用消息传递和共享存储混合的方式来提高算法在并行环境下的效率。

当要处理的数据量大，或者要执行的数据处理任务繁重，并且这些任务本身就可以分解为互不相关的子任务时，使用并行计算是合适的^[21]。在进行线光滑时，由于各条线要素间相互独立，因此光滑算法具有很好的并行性。对单条线而言，线性迭代光滑法、正轴抛物线加权平均法和斜轴抛物线加权平均法、五点求导分段三次多项式插值法和三点求导分段三次多项式插值法进行光滑时都是按顺序从线要素中每次取出部分点进行操作，所以进行并行计算数据划分时可以对线段做分段处理，为了保证分段点处曲线的连续性，在分段的时候要交叉分段，在合并结果数据的时候对交叉的数据段进行加权平均即可。张力样条函数法计算各离散点二阶导数时要求解n阶矩阵，该过程可以并行化求解^[22]，在插值的时候是以2个点为单位计算张力样条函数进行插值，该过程可以把线段分段进行并行化求解。Bezier曲线法也可以把线段分段进行并行化求解。

5.总结与展望

本文调研并整理了常用的线要素光滑算法，并对这些算法进行分类，然后从各个类别中选取具有代表性的算法，并对其时间复杂度进行了具体分析和求解。基于分析的结果，将算法时间复杂度分为两类：线性算法和非线性算法，并探讨了适合这两类算法的并行化方法。这些探讨对线要素光滑算法并行计算奠定了基础。

本文仅对线要素光滑算法的时间复杂度进行了分析，对其并行化方法提出了初步设想。在线要素光滑算法高性能计算方面尚需做大量的研究工作。在空间数据特征面向线光滑算法对并行计算体系结构、并行算法设计等方面，还需进行实验设计与验证。