简介
有限元法最初的概念源自用结构力学的方法解决弹性力学的问题，后来扩展到各种用微分方程描述的学科。最初的有限单元法多用于工程计算，随着计算机性能的不断增强以及对图形表现真实性的进一步需求，有限单元法也逐渐应用到了图形的领域。
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连续介质力学 Continuum Mechanics
在图形学中，可变形的物体通常建模为连续介质的三维物体，其中最重要的三个量是：位移，应力，应变。
对于一维的情况，如下图：
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由Hooke's law 很容易得到：
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其中E是杨氏模量，描述的是材料的刚度。引入应力Image may be NSFW.
Clik here to view.和应变Image may be NSFW.
Clik here to view.，则式子可简化为：
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下面来定义一些符号。
一个三维可变形物体主要由一个未变行状态的体（undeformed shape, rest shape,initial shape）和一些材料属性来定义.Rest shape为一个连续的三维空间子集，记为Image may be NSFW.
Clik here to view.，其中的点Image may be NSFW.
Clik here to view.称为点的材质坐标（material coordinates）。
当有力施加到rest shape 上的时候，x的位置移动到 p(x),因为 p(x) 定义为所有材质上的点，那么 p(x)为Image may be NSFW.
Clik here to view.上的一个向量空间，记向量空间 u(x) = p(x) - x 为位移域（displacement field）.
应变 Strain
为了在三维空间中使用Hooke 定律，需要用新的方法来表示。在大部分情况下，变形体内的应变都不是一样的。比如一个一端固定的悬臂梁，上侧是受拉，下侧则是受压。则应变其实是材料坐标的函数，记为Image may be NSFW.
Clik here to view.，如果物体未发生形变，应变就是0，单纯的空间位移无法引起形变，所以应变也为0，因此应力其实是由位移域决定的。在三维空间中，位移域有三个部分：Image may be NSFW.
Clik here to view.，每一个分量都可以对x,y,z方向微分。应变就不是一个单值了，这个非常重要，因为在一个三维物体中的一个点，可以在一个方向受压的同时，在另一个方向受拉。
应变可以表示为一个 3*3 空间上的张量（tensor）：
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有两种从位移域计算应变张量的方法：
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前者称为格林非线性应变张量，后者是科希线性应变张量。科希张量少了后面的二次部分，无法获取旋转量。位移域的梯度矩阵如下：
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逗号后面的字母表示对其你偏导，求出梯度矩阵后很容易得到应变张量。
应力 Stress
应力指的是单位面积的受力，和应变一样，应力也可用一个3阶张量表示：
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求得应力之后，想要求得某个面上的手里，则还需要知道这个面的法向，然后通过下面的公式求得：
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本构关系
本构关系表示的应力和应变之间的关系。在三维空间中，Hooke 定律表示为：
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在这里应力和应变都是3阶的张量，对与各向同性的材料（isotropic materials）,Hooke 定律有：
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这里的 v 是杨氏模量，取值范围是[0...1/2), 描述固体材料抵抗形变能力的物理量。
动力方程 Equation of Motion
将牛顿第二定律运用到弹性材料中的质点，有
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由于我们不知道整个物体的质量，对与一个单位体积的立方体dxdydz，化为单位体积质量（也就是密度）的形式：
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这里的 f(x) 指的是作用在x的 内力+外力合。
现在要做的是计算内力。对于一个变形体内的一个单位立方体dxdydz，垂直X方向的应力如下
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应力是单位面积的力，则应力乘以面积就可以得到内力，再除以体积则得到x方向内力合为：
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逗号表示 空间导数。
则由内部应力产生的内力合可表示为：
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则完整的偏微分方程可以化为：
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通过这个方程，我们就可以通过求出内力外力和，继而求出加速度，然后更新位置。
整理一下这个求解方法的pipeline：
1.密度和外力已知；
2.定义材料坐标 X 和世界坐标 P；
3.计算位移域 u =p-x;
4.计算位移域梯度，然后应变张量就可以获得（格林应变张量或者柯希应变张量）；
5.根据Hooke's law 计算应力域；
6.根据牛顿第二定律计算出加速度；
7.利用显示或者隐式积分，更新P(x)。
这里还有两个概念需要说明一下。
材料线性：材料的应力和应变关系符合简单的Hooken law.(线性关系)
几何线性：应变张量使用的是柯希张量。
材料线性+集合线性得到的结果是动力学偏微分方程线性，偏微分方程线性的好处就是好求解。在deformate object 模拟中，大部分都是假设成线性的，这样能够使计算简单，获得更快的计算速度，但是对于大变形或者旋转，集合上的线性简化会引起一些很怪异的现象，这在后面会介绍一些解决的方法。
有限单元离散
在上面得到的偏微分方程中，p是一个连续向量空间，怎么描述物体中点位移会非常困难，因为物体有无限的质点，而我们需要求解解析解。
有一个方法可以无限近似的方式逼近真实解，这个方法的核心思想就是Finite Element Method（FEM），在力学中称为有限单元法。通过一些算法，将deformate object 的体mesh化分为网格单元mesh，网格单元之间不会有重叠，对于每一个单元，向量空间都可以根据单元顶点的位置写出解析式。
网格剖分的相关的文章：专注网格剖分 - TetGen,NETGEN,Steller
一个球体剖分的例子：
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剖分后：
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常应变四面体网格 Constant Strain Tetrahedral Meshes
在有限单元法中，最简单的方法就是用四面体作为有限单元，这样的网格mesh称为四面体mesh。
在单元中，如果形变域为一个常量的话会更加简单，但是这样会导致应力为0，然后就无法模拟变形物体了。
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对于如上图的一个四面体单元，x0,x1,x2,x3是在完全不受外力情况下的位置（rest shape），在形变状态下的位置为p0,p1,p2,p3，单纯的平移变换并不会产生内力，所以假设x0 = p0 = 0；
对与四面体中的某一点x,可以用重心坐标插值来表示：
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变形之后，这一点的重心坐标是不变的，可以记为：
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两式连立，消去b，得到
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这是一个线性关系，[x1,x2.x3]矩阵的逆可以事先求出。
由于p(x)是线性的，所以有
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又位移域 u = p-x，则
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使用格林应变张量
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再利用Hooken law，求出应力，然后乘以面积就可以得到内力。
例如，对于面(0,1,2)面上方的力如下：
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三角形的两个向量叉乘得到三角形的面积。
最后，我们只要吧面力离散到三角形的各个顶点就可以了。
就如我们看到的，整个过程都非常简单，只是根据之前的一个状态不断地去计算各种变量，同时我们可以很轻易的将Hooken law 替换成其他的非线性模型。
下面给出整个模拟过程的伪代码.
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一行行解释。
1-4：对有限元mesh中的所有单元进行初始化，初始位移和rest shape重合。
5-7：预处理每个单元的Xi；
8-11：这里开始主模拟循环。每次循环开始都要重新设置顶点上的力，初始设置为外力和；
13-14：计算出位移梯度；
15-16：用格林应变张量计算出应力；
17-22：计算单元中每个面上的力，然后将力离散到面上的每一个顶点；
24-26：到这一步，单元上的上的每一个顶点上的力都已经搞定了，接下来是更新每个点的位置；
28：更新显示。
算法的流程很像Mass - Spring - System. 虽然力的计算很耗时，但算法并没有因此更难理解或实现。
对于更稳定的模拟，一定要使用隐式积分。
参考
SIGGRAPH 2008 Course - Real Time Physics Class Notes
SIGGRAPH 2012 Course - FEM Simulation of 3D Deformable Solids: A practitioner’s guide to theory, discretization and model reduction