0015算法笔记——多边形游戏问题

         1、问题描述：   

      给定N个顶点的多边形，每个顶点标有一个整数，每条边上标有+(加)或是×(乘)号，并且N条边按照顺时针

依次编号为1~N。下图给出了一个N＝4个顶点的多边形。

     游戏规则 ：(1) 首先，移走一条边。 (2) 然后进行下面的操作： 选中一条边E，该边有两个相邻的顶点，不妨称为V1和V2。对V1和V2顶点所标的整数按照E上所标运算符号(+或是×)进行运算，得到一个整数；用该整数标注一个新顶点，该顶点代替V1和V2 。 持续进行此操作，直到最后没有边存在，即只剩下一个顶点。该顶点的整数称为此次游戏的得分(Score)。

    2、问题分析：

     解决该问题可用动态规划中的最优子结构性质来解。

    设所给的多边形的顶点和边的顺时针序列为op[1],v[1],op[2],v[2],op[3],…,op[n],v[n] 其中，op[i]表示第i条边所对应的运算符，v[i]表示第i个顶点上的数值，i=1~n。

    在所给的多边形中，从顶点i（1<=i<=n）开始，长度为j（链中有j个顶点）的顺时针链p(i,j）可表示为v[i],op[i+1],…,v[i+j-1]，如果这条链的最后一次合并运算在op[i+s]处发生（1<=s<=j-1），则可在op[i+s]处将链分割为两个子链p(i,s)和p(i+s,j-s)。

    设m[i,j,0]是链p(i,j)合并的最小值，而m[i,j,1]是最大值。若最优合并在op[i+s]处将p(i,j)分为两个长度小于j的子链的最大值和最小值均已计算出。即：

    a=m[i,s,0]  b=m[i,s,1]  c=m[i,s,0]  d=m[i,s,1]

   (1) 当op[i+s]=’+’时

    m[i,j,0]=a+c ；m[i,j,1]=b+d

   (2) 当op[i+s]=’*’时

    m[i,j,0]=min{ac,ad,bc,bd} ； m[i,j,1]=max{ac,ad,bc,bd}

    由于最优断开位置s有1<=s<=j-1的j-1中情况。 初始边界值为 m[i,1,0]=v[i]   1<=i<=n m[i,1,1]=v[i]   1<=i<=n

    因为多变形式封闭的，在上面的计算中，当i+s>n时，顶点i+s实际编号为(i+s)modn。按上述递推式计算出的m[i,n,1]记为游戏首次删除第i条边后得到的最大得分。

      算法具体代码如下：

//3d6 多边形游戏
#include "stdafx.h"
#include <iostream> 
using namespace std; 

#define NMAX 100
int N,m[NMAX+1][NMAX+1][2],v[NMAX+1]; 
char op[NMAX+1];

void MinMax(int n,int i,int s,int j,int &minf,int &maxf);
int PloyMax(int n,int& p);

int main() 
{  
	int p;
	cout<<"请输入多边形顶点数："<<endl;
	cin>>N;
	for(int i=1; i<=N; i++)
	{
		cout<<"请输入多边形顶点"<<i<<"数值:"<<endl;
		cin>>v[i];  
		m[i][1][0]=v[i];  
		m[i][1][1]=v[i]; 
		cout<<"请输入多边形边"<<i<<"运算符:"<<endl;
		cin>>op[i];   
	} 
	cout<<"多边形游戏首次删除第"<<p<<"条边，结果为："<<PloyMax(N,p)<<endl; 
	return 0;
}

void MinMax(int n,int i,int s,int j,int &minf,int &maxf)
{ 
	int e[5];
	int a=m[i][s][0],b=m[i][s][1];
	int r=(i+s-1)%n+1;//多边形的实际顶点编号
	int c=m[r][j-s][0],d=m[r][j-s][1];

	if(op[r-1]=='+')
	{   
		minf=a+c;
		maxf=b+d;
	} 
	else
	{   
		e[1]=a*c;
		e[2]=a*d;
		e[3]=b*c; 
		e[4]=d*b;  
		minf=e[1];  
		maxf=e[1]; 

		for(int r=2;r<N;r++) 
		{   
			if(minf>e[r])minf=e[r];
			if(maxf<e[r])maxf=e[r];
		}
	}
}

int PloyMax(int n,int& p)
{ 
	int minf,maxf;
	for(int j=2;j<=n;j++) //迭代链的长度
	{
		for(int i=1;i<=n;i++)//迭代首次删掉第i条边
		{
			for(int s=1 ;s<j;s++) //迭代断开位置
			{    
				MinMax(n,i,s,j,minf,maxf);
				if(m[i][j][0]>minf) m[i][j][0]=minf; 
				if(m[i][j][1]<maxf) m[i][j][1]=maxf;
			}  
		}
	}

	int temp=m[1][n][1]; 
	p=1;

	for(int i=2 ;i<=n; i++)  
	{    
		if(temp<m[i][n][1]) 
		{
			temp=m[i][n][1];
			p=i;
		}
	}                  
	return temp;
} 

     程序运行结果如下：